صحيفة السوسنة الأردنية

السوسنة 

قانون مساحة الدائرة
يُمكن تعريف مساحة الدائرة (بالإنجليزية: Area of a Circle) بأنّها المساحة أو المنطقة التي تشغلها الدائرة على سطح مستوٍ، ويُمكن حساب مساحة الدائرة بالقانون التالي حيث يعتمد القانون بشكل أساسي على نصف قطرالدائرة:
مساحة الدائرة = π × نصف القطر²
ويُعبر عن الصيغة الرياضية بالرموز التالية:
م = π × نق²
إذ إنّ:
• م: مساحة الدائرة.
• π: قيمة ثابتة وتبلغ 3.14 أو 22/7.
• نق: نصف قطر الدائرة.
تعد الدائرة من الأشكال الهندسية، وهي شكل مغلق ينتج عن مجموعة من النقاط التي تبعد بمسافة ثابتة عن نقطة معينة وهي مركز الدائرة. تُسمى المسافة الواصلة بين أي من هذه النقاط ومركز الدائرة بنصف القطر ويُرمز له بالرمز (نق)، ويُسمى الخط الواصل بين نقطتين على الدائرة مارًا بالمركز، أو الخط الذي يقسم الدائرة من المنتصف إلى جزئين متساويين بالقطر ويُرمز له بالرمز (ق)، وهو ضعف نصف القطر، أي:ق = 2 × نق، وتعرف مساحة الدائرة بأنها الحيز الذي تشغلك الدائرة على سطح مستوٍ، ويمكن حسابها بضرب تربيع نصف القطر الثابت قيمتة π أو 3.14.

قانون محيط الدائرة 

ُمكن تعريف محيط الدائرة (بالإنجليزية: Perimeter of a Circle) بأنّه المسافة المحيطة بحدود الدائرة أو هو طول قوس الدائرة بالكامل، ويُمكن حساب محيط الدائرة بالقانون التالي:

محيط الدائرة = π × القطر

أو

محيط الدائرة = π × نصف القطر × 2

ويُعبر عن الصيغة الرياضية بالرموز التالية:

م = π × ق = 2 × π × نق
إذ إنّ:
• م: مساحة الدائرة.
• π: قيمة ثابتة وتبلغ 3.14.
• ق: قطر الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة

حساب مساحة الدائرة عند معرفة المحيط
يمكن حساب مساحة الدائرة إذا عُلمَ محيطها ويُمكن حساب المحيط إذا علمت مساحتها، وذلك بالخطوات التالية:
مثال: احسب مساحة دائرة محيطها يساوي 6π سم.
نعوض قيمة محيط الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر:
محيط الدائرة = π × نصف القطر × 2
6π = π × نصف القطر × 2
نصف القطر = 3 سم
نعوض قيمة نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد المساحة:
مساحة الدائرة = π × نصف القطر²
مساحة الدائرة = π × 3² = 9π
كما يُمكن استخدام القانون التالي والتعويض فيه مباشرةً، ولكن ليس من الضروري حفظه، يكفي حفظ قانون المساحة والمحيط وتعويض القيمة المعطاة في السؤال في القانون الأول لإيجاد القانون الآخر كما فعلنا في الخطوات السابقة:
مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / (4 × π)
ويُمكن حل المثال السابق باستخدام هذه الطريقة كالآتي:

مساحة الدائرة = (6π)² / (4 × π) = (36π²) / (4π) = 9π
(نلاحظ أنّ الإجابة هي ذاتها في طريقتي الحل).
حساب محيط الدائرة عند معرفة المساحة
مثال: احسب محيط دائرة مساحتها تساوي 16π سم².
نعوض قيمة مساحة الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر:
مساحة الدائرة = π × نصف القطر²
16π = π × نصف القطر²
نصف القطر = 4
نعوض قيمة نصف القطر في قانون المحيط لإيجاد المحيط:
محيط الدائرة = π × نصف القطر × 2 = π × 4 × 2 = 8π = 25.12
كما يُمكن استخدام القانون التالي والتعويض فيه مباشرةً:
محيط الدائرة = √(4 × π × مساحة الدائرة)
ويُمكن حل المثال السابق باستخدام هذه الطريقة كالآتي:
محيط الدائرة = √(4 × π × 16π) = √(64π²) = 8π = 25.12

تعتمد قوانين الدائرة بشكل أساسي على نصف القطر، إذ يمكن حساب محيط ومساحة وطول قوس الدائرة وغيرها من خلاله. ويُعرف محيط الدائرة بأنّه طول المسافة الخارجية التي تحيط بالدائرة ويُحسب من خلال ضرب القطر في الثابت π.
مسائل متنوعة على حساب محيط ومساحة الدائرة
حساب المحيط والمساحة إذا كان نصف القطر معلوم
مثال 1:
احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 4 سم.
الحل:
مساحة الدائرة = π × نصف القطر² = π × 4² = π × 16 = 50.24 سم²
مثال 2:
احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 9 سم.
الحل:
مساحة الدائرة = π × 9² = π × 81 = 254.34 سم²
مثال 3:
احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ قطرها يساوي 8 سم.
الحل:
محيط الدائرة = π × 8 = 25.12 سم
مثال 4:
احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 6 سم.
الحل:
محيط الدائرة = π × 6 × 2 = π × 12 = 37.68 سم
حساب المحيط إذا كانت المساحة معلومة
مثال:
احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ مساحتها تساوي 49π سم².
الحل:
نعوض قيمة مساحة الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر:
مساحة الدائرة = π × نصف القطر² = 49π
نصف القطر = 7
نعوض قيمة نصف القطر في قانون المحيط لإيجاد المحيط:
محيط الدائرة = π × نصف القطر × 2 = π × 7 × 2 = 14π = 43.9
أو نعوض في القانون مباشرةً:
محيط الدائرة = √(4 × π × مساحة الدائرة) = √(4 × π × 49π) = 43.9
حساب المساحة إذا كان المحيط معلوم
مثال:
احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ محيطها يساوي 15 سم.
الحل:
نعوض قيمة محيط الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر:
15 = 2 × π × نصف القطر ⟹ نصف القطر = 2.388 سم
نعوض قيمة نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد المساحة:
مساحة الدائرة = π × (2.388)² = 18
أو نعوض في القانون مباشرةً:
مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / (4 × π) = 225 / (4 × π) = 18

اقرأ أيضاً:

• علم الرياضيات
• طرق إبداعية لتدريس الرياضيات
• الرياضيات في حياتنا