صحيفة السوسنة الأردنية

السوسنة - عند حل المسائل الحسابية، من المهم اتباع ترتيب معين للعمليات حتى نحصل على الناتج الصحيح، لأنه إذا حللنا العمليات بترتيب خاطئ سنحصل على نتائج غير دقيقة. هذا الترتيب يعرف بـ أولويات العمليات الحسابية، وهي كالتالي:
1. الأقواس:نبدأ بحل ما بداخل الأقواس أولاً، وإذا كان هناك أكثر من قوس، نبدأ من القوس الداخلي ثم الخارجي.
مثال:
• 4 × (5 + 3)
نبدأ بحل ما بداخل القوس: 5 + 3 = 8
ثم نضرب: 4 × 8 = 32
الحل الصحيح: 32
أما لو بدأنا بالضرب قبل الأقواس، مثلاً 4 × 5 + 3 = 20 + 3 = 23، فهذا خطأ.
2. الأسس:نقوم بحساب القوى والرفع للأس أولاً بعد الأقواس.
مثال:
• 5 × 2²
نبدأ بحساب الأس: 2² = 4
ثم نضرب: 5 × 4 = 20
الحل الصحيح: 20
أما إذا حسبنا 5 × 2 = 10 ثم رفعنا 10 للأس 2 = 100، فهذا خطأ.
3. الضرب والقسمة:عمليتا الضرب والقسمة لهما نفس الأولوية، ونقوم بحلهما من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية (ومن اليسار إلى اليمين في اللغة الإنجليزية).
مثال:
• 3 × 5 + 2
نبدأ بالضرب: 3 × 5 = 15
ثم نضيف 2: 15 + 2 = 17
الحل الصحيح: 17
أما إذا بدأنا بالجمع: 3 × (5 + 2) = 3 × 7 = 21، فهذا خطأ.
4. الجمع والطرح:عمليتا الجمع والطرح لهما نفس الأولوية، ونقوم بحلهما من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية (ومن اليسار إلى اليمين في اللغة الإنجليزية)، بعد التخلص من كل العمليات السابقة.
ملاحظات إضافية حول الأولويات
• في حالة وجود عمليات من نفس الأولوية (مثل ضرب وقسمة معاً أو جمع وطرح معاً) في المسألة، نحل العمليات من اليمين إلى اليسار (في اللغة العربية).
• عند وجود أكثر من أس لعدد واحد، نبدأ بالأس الأعلى (من الأعلى للأسفل).
أمثلة على ترتيب العمليات الحسابية مع الشرح
المثال الأول:
ما هو ناتج العملية:
12 ÷ 6 × 3 ÷ 2؟
الحل:
القسمة والضرب متساويتان بالأولوية، فنبدأ من اليمين لليسار:
12 ÷ 6 = 2
ثم 2 × 3 = 6
ثم 6 ÷ 2 = 3
الناتج = 3
أي أن العملية تمت كما يلي:
12 ÷ 6 × 3 ÷ 2 = 2 × 3 ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3
المثال الثاني:
ما هو حل المسألة:
4 + 3²؟
الحل:
الأولوية للأسس أولاً:
3² = 9
ثم 4 + 9 = 13
أي أن العملية تمت كما يلي:
4 + 3² = 4 + 9 = 13
المثال الثالث:
ما هو حل المسألة:
4 + (-1 × (-2 - 1))²؟
الحل:
الأولوية للأقواس أولاً:
-2 - 1 = -3
تصبح المسألة:
4 + (-1 × (-3))²
نحسب الضرب داخل القوس:
-1 × -3 = 3
ثم الأسس:
3² = 9
ثم الجمع:
4 + 9 = 13
أي أن العملية تمت كما يلي:
4 + (-1 × (-2 - 1))² = 4 + (-1 × (-3))² = 4 + 3² = 4 + 9 = 13
المثال الرابع:
ما هو حل المسألة:
16 - 3 × (8 - 3)² ÷ 5؟
الحل:
الأولوية للأقواس أولاً:
8 - 3 = 5
تصبح المسألة:
16 - 3 × 5² ÷ 5
نحسب الأسس:
5² = 25
تصبح:
16 - 3 × 25 ÷ 5
ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار:
3 × 25 = 75
ثم 75 ÷ 5 = 15
تصبح:
16 - 15
نحسب الطرح:
1
أي أن العملية تمت كما يلي:
16 - 3 × (8 - 3)² ÷ 5 = 16 - 3 × 25 ÷ 5 = 16 - 75 ÷ 5 = 16 - 15 = 1
المثال الخامس:
ما هو ناتج المسألة:
6 × 3 + 4 × (9 ÷ 3)؟
الحل:
الأولوية للأقواس:
9 ÷ 3 = 3
تصبح:
6 × 3 + 4 × 3
ثم الضرب:
6 × 3 = 18
4 × 3 = 12
ثم الجمع:
18 + 12 = 30
أي أن العملية تمت كما يلي:
6 × 3 + 4 × (9 ÷ 3) = 18 + 12 = 30
المثال السادس:
ما هو حل المسألة:
3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 - 7؟
الحل:
الأولوية للأقواس:
5 + 4 = 9
تصبح:
3 + 6 × 9 ÷ 3 - 7
ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار:
6 × 9 = 54
ثم 54 ÷ 3 = 18
تصبح:
3 + 18 - 7
ثم الجمع والطرح من اليمين لليسار:
3 + 18 = 21
ثم 21 - 7 = 14
أي أن العملية تمت كما يلي:
3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 - 7 = 3 + 18 - 7 = 14
المثال السابع:
ما هو حل المسألة:
9 - 5 ÷ (8 - 3) × 2 + 6؟
الحل:
الأولوية للأقواس:
8 - 3 = 5
تصبح:
9 - 5 ÷ 5 × 2 + 6
ثم القسمة والضرب من اليمين لليسار:
5 ÷ 5 = 1
ثم 1 × 2 = 2
تصبح:
9 - 2 + 6
ثم الجمع والطرح من اليمين لليسار:
9 - 2 = 7
ثم 7 + 6 = 13
أي أن العملية تمت كما يلي:
9 - 5 ÷ (8 - 3) × 2 + 6 = 9 - 2 + 6 = 13
المثال الثامن:
ما هو حل المسألة:
4 - 3 × (20 - 3 × 4 - (2 + 4)) ÷ 2؟
الحل:
الأولوية للأقواس الداخلية:
2 + 4 = 6
تصبح:
4 - 3 × (20 - 3 × 4 - 6) ÷ 2
ثم الضرب داخل القوس:
3 × 4 = 12
تصبح:
4 - 3 × (20 - 12 - 6) ÷ 2
ثم الطرح داخل القوس من اليمين:
20 - 12 = 8
ثم 8 - 6 = 2
تصبح:
4 - 3 × 2 ÷ 2
ثم الضرب والقسمة من اليمين لليسار:
3 × 2 = 6
ثم 6 ÷ 2 = 3
تصبح:
4 - 3
ثم الطرح:
1
أي أن العملية تمت كما يلي:
4 - 3 × (20 - 3 × 4 - (2 + 4)) ÷ 2 = 4 - 3 × (20 - 12 - 6) ÷ 2 = 4 - 3 × 2 ÷ 2 = 4 - 6 ÷ 2 = 4 - 3 = 1
المثال التاسع:
ما هو حل المسألة:
20 - (3 × 2³ - 5)?
الحل:
الأولوية للأسس داخل القوس:
2³ = 8
تصبح:
20 - (3 × 8 - 5)
ثم الضرب داخل القوس:
3 × 8 = 24
تصبح:
20 - (24 - 5)
ثم الطرح داخل القوس:
24 - 5 = 19
تصبح:
20 - 19
الناتج:
1
أي أن العملية تمت كما يلي:
20 - (3 × 2³ - 5) = 20 - (24 - 5) = 20 - 19 = 1
المثال العاشر:
ما هو حل المسألة:
(5 + 2)² - 9 × 3 + 2³؟
الحل:
الأولوية للأقواس:
5 + 2 = 7
تصبح:
7² - 9 × 3 + 2³
ثم الأسس:
7² = 49
2³ = 8
تصبح:
49 - 9 × 3 + 8
ثم الضرب:
9 × 3 = 27
تصبح:
49 - 27 + 8
ثم الجمع والطرح من اليمين لليسار:
49 - 27 = 22
22 + 8 = 30
أي أن العملية تمت كما يلي:
(5 + 2)² - 9 × 3 + 2³ = 49 - 27 + 8 = 30
المثال الحادي عشر:
ما هو حل المسألة:
(5² - 5) ÷ (4² + 8 - 7 × 2)?
الحل:
الأولوية للأسس داخل القوس الأول:
5² = 25
تصبح:
(25 - 5) ÷ (4² + 8 - 7 × 2)
ثم الطرح داخل القوس الأول:
25 - 5 = 20
القوس الثاني:
4² = 16
تصبح:
20 ÷ (16 + 8 - 7 × 2)
ثم الضرب داخل القوس الثاني:
7 × 2 = 14
تصبح:
20 ÷ (16 + 8 - 14)
ثم الجمع والطرح داخل القوس الثاني:
16 + 8 = 24
24 - 14 = 10
تصبح:
20 ÷ 10 = 2
أي أن العملية تمت كما يلي:
(5² - 5) ÷ (4² + 8 - 7 × 2) = 20 ÷ 10 = 2
المثال الثاني عشر:
ما هو حل المسألة:
(7 - √9) × (4² - 3 + 1)?
الحل:
نبدأ بالجذر التربيعي داخل القوس الأول:
√9 = 3
تصبح:
(7 - 3) × (4² - 3 + 1)
ثم الطرح داخل القوس الأول:
7 - 3 = 4
ثم الأسس داخل القوس الثاني:
4² = 16
تصبح:
4 × (16 - 3 + 1)
ثم الجمع والطرح داخل القوس الثاني:
16 - 3 = 13
13 + 1 = 14
تصبح:
4 × 14 = 56
أي أن العملية تمت كما يلي:
(7 - √9) × (4² - 3 + 1) = 4 × 14 = 56
أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب
عند إجراء العمليات الحسابية في الحاسوب، يتم اتباع نفس أولويات العمليات الحسابية، وتعرف أحياناً باسم أسبقية المعامل، وهي:
1. الأقواس
2. الأسس
3. الضرب والقسمة
4. الجمع والطرح
مثال على ترتيب العمليات في الحاسوب:
المسألة:
3 × 6 ÷ 3 + 12 + (20 + 5)
الحل:
• أولاً نحل ما داخل الأقواس: 20 + 5 = 25
• تصبح المعادلة: 3 × 6 ÷ 3 + 12 + 25
• ثم الضرب: 3 × 6 = 18
• ثم القسمة: 18 ÷ 3 = 6
• ثم الجمع: 6 + 12 + 25
• 6 + 12 = 18
• 18 + 25 = 43
الناتج النهائي: 43
خلاصة
اتباع أولويات العمليات الحسابية ضروري جداً للحصول على ناتج دقيق وصحيح، سواء كانت العمليات على الورق أو على الحاسوب. والترتيب هو:
• الأقواس
• الأسس
• الضرب والقسمة
• الجمع والطرح